Новый взгляд на методы расчета электрических цепей или введение в тензорный анализ сетей

Метод контурных токов был хорошо описан в статье, метод узловых потенциалов был рассмотрен в статье. Однако приведенные статьи скорее повторяют «старые» учебники ТОЭ, чем дают какую-либо новую информацию.

Вообще говоря, существующее изложение методов расчета электрических цепей (в том числе и метода узловых потенциалов), приведенное в учебниках ТОЭ, на мой взгляд достаточно скучно и скорее оттолкнет «интересующегося» читателя от изучения этих прекрасных методов, нежели позволит раскрыть их истинную красоту (но повторюсь — это мое личное мнение).

В данной публикации я бы хотел показать подход к этим методам (на примере контурных токов) с другой стороны. Сразу скажу, что я не открою здесь ничего нового: подход, который будет изложен ниже, в некоторой степени описан в замечательных книгах [1-3].

Основная идея подхода (не самого метода) основана на идее замечательного венгерского инженера физика математика Габриэля Крона о тензорной природе электрических цепей. Отмечу, что целью статьи является не введение в тензорную алгебру и прочие дебри, а как раз наоборот — показать простоту и красоту идей тензорного подхода.

Идеи Г. Крона, изложенные в [4], несмотря на их простоту, до сих пор остаются непонятными для обывателя. Отсутствие понимания, очевидно, связано со своеобразным (нетрадиционным) изложением автором своих идей.

Суть тензорного подхода

Не вдаваясь в тензорную алгебру, основная идея «тензорного» подхода Г. Крона заключается в том, что тензор, как физический или геометрический объект (именно как физический или геометрический, а не математический), не должен зависеть от системы координат, в которой он рассматривается (как например, не зависит от системы координат объем обычной кружки и собственно сама кружка)… Да, да – оказывается, всё так просто (оказывается, что тензор – это кружка… ☺). Конечно, это шутка, но на этом шуточном примере я хотел объяснить тензор тем, кто пока ещё с ним не знаком, но хочет понять, что это за зверь. Если посерьёзней, то под тензором я понимаю объект, полностью описываемый некоторым множеством чисел (в том числе комплексных и гиперкомплексных), изменяющихся при изменении системы координат по некоторому закону, но при этом не изменяющийся сам по себе.

Давайте разберем идею тензорного подхода на примере метода контурных токов.

Метод контурных токов (МКТ)

Как отмечалось в статье, МКТ основан на II законе Кирхгофа и законе Ома. Сам МКТ можно вывести в несколько простых этапов:

1) В соответствии со II-м законом Кирхгофа выбираются контуры и составляются уравнения (напряжения ветвей Ub выражаются через напряжения контуров Uc):

                                                    N·Ub = Uc,                       (1)

где N – матрица соединения ветвей в контуры (строки – образуют контуры, столбцы – ветви), в литературе называется второй матрицей инциденций (а какое название больше нравится вам?).

Примечание: как правило, если нет особых ветвей, то Uc = 0.

2) Записывается закон Ома для всех ветвей схемы:

                                             Zbb·Ib = Eb + Ub,              (2)

откуда выражаются напряжения ветвей схемы:

                                            Ub = Zbb·Ib − Eb.               (3)

3) Токи ветвей выражаются через токи контуров

                                                Ib = Nt·Iс.                         (4)

4) Далее закон Ома (для ветвей) преобразуется к контурному виду (). Для этого (4) подставляется в уравнение (3), умноженное на N. Получается закон Ома в контурном виде:

                                          Zcc·Ic = Ec + Uc,              (5)

где Zcc = N·Zbb·Nt – матрица контурных сопротивлений;

       Ec = N·Eb – вектор контурных ЭДС.

5) Далее вычисляются контурные токи

                                       Iс = Zсс-1·(Ec + Uc)              (6)

6) И определяются токи ветвей схемы по формуле (4):

                                                 Ib = Nt·Iс

Давайте сравним (5) и (2). Да, да… ваши глаза вас не обманывают – форма уравнений одинакова (или, как говорят, инвариантна), т.е. формула (5) – это тот же закон Ома, только записанный не для ветвей («b«), а для контуров («с«) (как для новой системы координат). Ммм… все это наталкивает на мысль о тензорной природе электрических сетей (естественно, наталкивает тех, кто знаком с тензорами, хотя мы все в той или иной мере с ними знакомы: помните кружка – тоже тензор). Остается только удивляться, как этот простой факт не был замечен ранее. Более того, как показано в [4], электрические величины, рассматриваемые в электрической цепи (I, U, Z, S) являются тензорами, а раз так однажды составленное уравнение для одной системы координат можно записать для любой другой системы (естественно, в которой решение определяется гораздо проще, например для системы симметричных координат, несимметричных координат, координат d, q, 0 и пр.), найти решение стандартным способом и выполнить обратное преобразование (думаю метод симметричных составляющих откроется кому то с новой стороны). Вся сложность заключается в установлении этого закона преобразования. В этом и заключается основная идея тензорного подхода.

Замечание 1: На самом деле, хоть форма уравнений (5) и (2) получилась одинаковой, преобразование (2) в (5) является не полным в том смысле, что число уравнений в (2) равно числу ветвей Nb, а число уравнений в (5) равно числу контуров Nс = Nb − (Nу − 1) < Nb.

Замечание 2: Более того, само преобразование (2) в (5) нельзя считать инвариантным в полной мере в том смысле, что закон сохранения энергии здесь не выполняется: (Eb + Ub)·Ib не равно (Ec + Uc)·Ic (к сожалению, здесь вам остается только поверить, поскольку я преследовал другую цель – донести основную идею, а не вдаваться в доказательства). Причем здесь закон сохранения энергии, спросите вы. Да при том, что пространство (систему координат), которое рассматривает Г. Крон, не является Евклидовым (т.е. в этом пространстве не имеет смысла расстояние между двумя точками) – пространство, которое он рассматривает, является Аффинным (как, например, координаты P-давление V-объем T-температура или даже более правильно Топологическим) и не имеет смысла рассматривать постоянство модуля вектора как в обычном Евклидовом пространстве. Тем не менее, интуиция подсказывает, что постоянная величина должна быть, и, очевидно, ею является, по крайней мере, энергия. Ну да ладно… кому, всё-таки, эта (тензорная) идея показалась интересной, отмечу лишь то, что для того, чтобы преобразование было полностью инвариантным, уравнение (1) для замкнутых контуров следует дополнить уравнениями для «разомкнутых» контуров. Что ещё за «разомкнутый» контур, спросите вы? Да, понятие «разомкнутого» контура отсутствует в учебниках ТОЭ, видимо, поэтому подход Крона не нашел широкой известности. Однако в «разомкнутых» контурах нет ничего сложного и мистического. Под «разомкнутым» контуром Крон понимал контур, составленный по II закону Кирхгофа для ветвей схемы и одной «разомкнутой» ветви (эта ветвь не изображается на схеме, но начальной и конечной вершиной этой ветви являются реальные узлы схемы, такие узлы Крон называл узловыми парами). Для большего понимания «разомкнутую» ветвь можно представить себе либо в виде ветви с бесконечным сопротивлением, либо в виде «несуществующей» ветви с разрывом, связывающей два узла схемы, связанных между собой одной или более реальными ветвями. Поскольку количество независимых узловых пар, очевидно, равно Nу − 1, то и число «разомкнутых» контуров будет Nу − 1.

Дополнив уравнение (1) уравнениями для разомкнутых контуров, Г. Крон первым получил названые им уравнения ортогональной цепи (правильнее эти цепи называть биортогональными или взаимными, но никак не ортогональными в прямом смысле слова).

Замечание 3: Интересно отметить, что при выводе МКТ я не учитывал наличие источников тока (т.е. все источники тока были заменены эквивалентными источниками напряжения (ЭДС)). Это было сделано специально, дабы не усложнять задачу (из курса ТОЭ мы знаем, что любой источник тока можно заменить источником напряжения). Аналогично может быть показана инвариантность формы уравнений для метода узловых напряжений. Однако в этом случае все ЭДС ветвей необходимо заменить на источники тока ветвей.

Возможно, последние замечания были утомительны. Но если не обращать на них внимания, то красота тензорного подхода завораживает (кружка остается кружкой в любой системе координат ☺).

Дальнейшим погружением в красоту тензорного анализа сетей является, конечно, диакоптика (расчёт сложных систем по частям), но это тема отдельной публикации, хотя там так же все просто.

Интересно  отметить, что тензорные методы ТТ-DICOMPOSITIONТензорированные нейронные сети и тензорные процессоры Google TPU, NCore получают все большее применение в передовых методах машинного обучения нейронных сетей, что подчеркивает актуальность тензорного подхода и его устойчивое применение в ближайшем будущем (в своей работе [4] Крон писал, что «Автор проводил эксперименты, вводя гидро- и термодинамические параметры как дополнение к электромагнитным и механическим параметрам… Таким образом, окончательное конструирование аналогового или цифрового «искусственного мозга»… стало реальной возможностью»). Кроме того вся теория СТО и ОТО Эйнштейна построена на тензорном аппарате. Естественно возникает вопрос почему тензоры так мало известны, если они применяются практически во всех отраслях науки и техники и собственно почему они такие вездесущие. Ответ на первый вопрос на мой взгляд простой — во первых понятие тензора, в большинстве источников вводится очень сложно и только с математической точки зрения (многомерная таблица, заполненная числами и т.д.), не уделяя внимания физическому смыслу, во вторых — в условиях рыночной экономики отсутствует заинтересованность в широком обучении населения (выживает сильнейший), но это уже политика. Со вторым вопросом попроще: дело в том, что тензоры по моему мнению — это объекты нашей реальности (включая пространство и время).

Заключение

Приведен матричный вывод метода контурных токов.

Показана тензорная природа электрических сетей.

Литература

  1. К.С. Демирчян, Л.Р, Нейман и др. Теоретические основы электротехники. 2004 г.
  2. В.А. Веников. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики. 1970 г.
  3. Л.А. Жуков, И.П. Стратан. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем. 1979 г.
  4. Г. Крон. Тензорный анализ сетей. 1973 г.

5 комментариев для “Новый взгляд на методы расчета электрических цепей или введение в тензорный анализ сетей”

  1. Алексей Шитиков

    Добрый день.
    Есть ли практический эффект от применения тензоров при расчетах схем?
    Под практическим эффектом понимаю преимущество (хотя бы одно) при выполнении расчетов — снижение порядка матриц, уменьшение объема вычислений, упрощение мат.аппарата, снятие каких-либо принципиальных ограничений и т.п.
    Когда-то меня тоже заинтересовала эта теория, знакомился с трудами Крона, Хэппа, Шакирова…
    и сложилось впечатление, что практической пользы нет — только «математическая красота». А «математическая красота» — такая штука, что не каждому дано ее увидеть.

    1. Александр П.

      Спасибо за вопрос Алексей! Я тоже когда то задавался этим вопросом и для себя понял так: если говорить о вычислительных преимуществах перед матричным аппаратом, то естественно тензоры не дадут никакого преимущества, ведь с вычислительной точки зрения тензоры — это те же таблицы чисел (т.е. те же матрицы). Однако если говорить об упрощении мат. аппарата — то тензоры на мой взгляд как раз для этого и создавались (это их основное предназначение если хотите). Например, когда мы решаем схему методом узловых напряжений в фазных координатах или симметричных координатах — нет никакой разницы запишем мы уравнения в тензорном или матричном виде. Но в каких координатах проще считать: вручную естественно проще в симметричных, на ПК — вопрос спорный (обычно в современных ПВК считают в фазных). И если говорить о симметричных координатах, то они, как известно, были созданы для упрощения (по крайней мере аналитического). Подводя итог я бы сказал так тензорный аппарат говорит нам: «чувак раз форма уравнений в любых координатах одинакова выбери ту в которой решение будет проще».
      Если же говорить о диакоптике, то тут совсем другая песня. Здесь без тензорного подхода составить матричные уравнения было бы достаточно сложно (для этого нужно было выделить цепь пересечений, в соответствии с тем как разделяется схема на части, найти и записать матрицы контуров, связывающие цепь пересечений с уже найденными узловыми напряжениями, в общем я бы сказал занятие не для ленивых). Кстати касательно уменьшения порядка матриц — здесь тоже порядок уменьшает не сам тензор, а «разделение» на части (диакоптика). Но как автоматизировать это разделение или как получить матрицу контуров для цепи пересечений без её выделения вручную может дать понять (именно понять, а не составить) только и только тензорный аппарат. На это обращал внимание Крон в книге Диакоптика на стр. 71 «Различие между анализом и решением», но опять же таким языком, который вряд ли будет понятен широкому кругу читателей. Я бы сказал так — Крона надо читать меду строк или как писал мой научный руководитель Щедрин В.А. с карандашом и бумагой.

  2. Александр П.

    Кстати говоря о книге Хэппа — я бы сказал это хорошая книжка, для начинающего (но только в начале), а о книге Шакирова — через чур весёлая ☺. Но, к сожалению, ни в одной из этих книжек не написано, что метод диакоптики основан на старом добром методе наложения (хотя может я читал невнимательно ☺, если что прошу понять и простить ☺).

  3. Алексей Шитиков

    Спасибо за ответ!
    выделю время — сделаю еще подход к теории, а пока буду ждать продолжения темы)
    в общем, ситуация с тензорами примерно такая:
    имеет сложную систему, требующую решения. Как ее можно решить, мы знаем. Знаем,что в процессе решения можем наткнуться на подводные камни, но как их обойти — тоже знаем. Решать будем долго, но известными способами и с гарантированным результатом.
    А можем решить с помощью тензоров. Берешь систему, преобразуешь ее в другую систему координат (с помощью тензора(-ов)) и в новой системе координат получаешь красивое решение. Но есть нюанс:новая система координат нам неизвестна, тензора нет, как его получить в общем случае не знаем.

  4. Переход к новой системе координат выполняется через матрицу преобразования (или тензор преобразования), которой действительно первоначально нет. Но сама задача или система может подсказать как эту матрицу найти. Например, если в фазных координатах матрица сопротивление симметрична или кососимметрична, то её собственные значения будут Z0, Z1, Z2, а собственные вектора будут образовать матрицу Фортескью (хотя можно построить и другие собственные вектора) , т.е. как раз ту матрицу преобразования, которая переведёт симметричную матрицу в диагональную для которой определение обратной матрицы тривиально. Если же матрица полностью не симметрична, то тут даже симметричные координаты не помогут и нужно рассматривать какие то другие. Кстати не надо думать, что раз матрицы преобразования нет, то и тензора нет. Ток, напряжение и сопротивления это тоже тензорный величины, но чтобы понять, что они тензорные как раз и нужна матрица преобразования. В случае диакоптики матрицей преобразования является матрица замкнутых и разомкнутых контуров С или дуальная ей матрица замкнутых и разомкнутых сечений ( на счёт разомкнутых сечений имеются ввиду разомкнутые контура для дуальной схемы) А, а собственных чисел как таковых нет есть контурные матрицы сопротивления замкнутых и разомкнутых контуров или узловые матрицы проводимостей для замкнутых и разомкнутых сечений.

Добавить комментарий

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.