В программу расчёта электрических цепей добавлен функционал проверки баланса мощностей.
Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс мощностей. Сумма всех отдаваемых мощностей равна сумме всех потребляемых мощностей [1]:
$$ \sum{\underline{S}_\textrm{ист}} = \sum{\underline{S}_\textrm{пр}}, $$
где $ \underline{S}_\textrm{ист} $ – комплексная мощность, отдаваемая источниками тока и напряжения электрической цепи; $ \underline{S}_\textrm{пр} $ – комплексная мощность, потребляемая пассивными элементами электрической (резисторами, катушками индуктивности, конденсаторами).
Комплексная мощность, отдаваемая источником ЭДС, определяется по формуле:
$$ \tag{1} \underline{S}_\textrm{E} = \underline{E} ⋅ \underline{I}’, $$
где $ \underline{E} $ – значение ЭДС; $ \underline{I}’ $ – комплексно-сопряжённый ток, протекающий через источник ЭДС; знак ‘ обозначает сопряжённый комплекс.
Формула (1) справедлива для того случая, когда направление источника ЭДС совпадает с направлением протекающего через него тока (рис. 1). Если направление источника ЭДС не совпадает с направлением протекающего через него тока, то мощность, отдаваемая этим источником ЭДС, берётся c противоположным знаком.
Рис. 1. Положительные направления тока и источника ЭДС
Комплексная мощность, отдаваемая источником тока, определяется по формуле:
$$ \tag{2} \underline{S}_\textrm{J} = \underline{U}_\textrm{J} ⋅ \underline{J}’, $$
где $ \underline{U}_\textrm{J} $ – напряжение на источнике тока; $ \underline{J}’ $ – комплексно-сопряжённый ток источника тока. Формула (2) справедлива для случая, когда принятое направления тока совпадает с направлением источника тока, а направление напряжения соответствует рис. 2.
Рис. 2. Положительные направления тока и напряжения на источнике тока
Комплексная мощность, потребляемая электрической цепью, складывается из мощностей, потребляемых резисторами, катушками индуктивности и конденсаторами.
Комплексная мощность, потребляемая резистором, определяется по формуле
$$ \tag{3} \underline{S}_\textrm{R} = R ⋅ I^{2}, $$
где $ R $ – сопротивление резистора; $ I $ – абсолютное значение тока, протекающего через резистор (берётся модуль комплексного числа).
Комплексная мощность, потребляемая катушкой индуктивности, определяется по формуле
$$ \tag{4} \underline{S}_\textrm{L} = jX_{L} ⋅ I^{2}, $$
где $ X_{L} $ – сопротивление катушки индуктивности; $ I $ – абсолютное значение тока, протекающего через катушку индуктивности (берётся модуль комплексного числа).
Комплексная мощность, потребляемая конденсатором, определяется по формуле
$$ \tag{5} \underline{S}_\textrm{C} = -jX_{C} ⋅ I^{2}, $$
где $ X_{C} $ – сопротивление конденсатора; $ I $ – абсолютное значение тока, протекающего через конденсатор (берётся модуль комплексного числа).
Формулы (3)-(5) показывают, что мощность, потребляемая резисторами, является чисто активной, а мощность, потребляемая катушками индуктивности и конденсаторами, является чисто реактивной.
Список использованной литературы
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов, 1975.