Одним из методов расчёта переходных процессов в электрических цепях является классический метод [1]. Ниже приведён его порядок действий.
1. Записываем искомый ток в виде
$$ i(t) = i_{\textrm{у}}(t) + i_{\textrm{св}}(t) $$
2. Рассчитываем установившийся режим после коммутации, т.е. определяем $ i_{\textrm{у}}(t) $.
3. Составляем характеристическое уравнение цепи после коммутации. Для этого рисуем пассивную схему после коммутации (источники ЭДС закорачиваем, источники тока размыкаем). В этой пассивной схеме размыкаем ветвь, где ищется ток, и относительно этой ветви свёртываем схему, т.е. записываем $ \underline{Z}_{\textrm{вх}} $. При изображении пассивной схемы элементы обозначаем следующим образом: резисторы — $ R $, катушки индуктивности — $ pL $, конденсаторы — $ \frac{1}{pC} $. В результате сворачивания схемы получаем $ \underline{Z}_{\textrm{вх}}(p) $ и приравниваем его нулю, тем самым получаем
$$ \underline{Z}_{\textrm{вх}}(p) = 0 $$
Решая его, находим корень характеристического уравнения (оно всегда отрицательно и действительно).
4. При одном корне характеристического уравнения свободная составляющая всегда записывается в виде:
$$ i_{\textrm{св}}(t) = A \cdot e^{pt} $$
5. Возвращаемся в п. 1 и подставляем все найденные значения. Переписываем полученное уравнение для момента времени $ t =0 $.
6. Определяем независимые начальные условия: рисуем схему до коммутации. Вычисляем токи в индуктивностях (или напряжения на ёмкостях) и записываем их при $ t =0 $: $ i_{L}(0) $, $ u_{C}(0) $.
7. Определяем зависимые начальные условия (т.е. левую часть уравнения п. 5). Для цепи после коммутации записываем уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений. При этом $ u_{R} = Ri_{R}(t) $, $ u_{L} = L\frac{di_{L}}{dt} $, $ u_{C} = u_{C} $
Переписываем эту систему при $ t = 0 $. В этой системе уравнений известными являются параметры цепи и независимые начальные условия. Решаем полученную систему уравнений с целью определения левой части уравнения из п. 5.
8. Возвращаемся в п. 5 и вычисляем постоянную интегрирования $ A $.
9. Возвращаемся в п. 5 и окончательно записываем искомый переходный ток.
Список использованной литературы
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.