Рассмотрим примеры расчёта переходных процессов в электрических цепях первого порядка классическим методом.
- 1. Включение ветви RL к источнику постоянной ЭДС
- 2. Короткое замыкание ветви RL
- 3. Включение ветви RC к источнику постоянной ЭДС (заряд конденсатора)
- 4. Короткое замыкание ветви RC (разряд конденсатора)
1. Включение ветви $ RL $ к источнику постоянной ЭДС
Дано: E, R, L (рис. 1.1)
Найти: i(t)
1. $ i(t) = i_{\textrm{у}}(t) + i_{\textrm{св}}(t) $
2. $ i_{\textrm{у}} $ — ?
Схема после коммутации принимает вид согласно рис. 1.2 (т.к. схема постоянного тока, то $ x_{L} = 0 $).
По закону Ома
$$ i_{\textrm{у}} = \frac{E}{R} $$
3. Составим характеристическое уравнение цепи после коммутации (рис. 1.3).
Входное сопротивление
$$ \underline{Z}_{\textrm{вх}} = R + pL $$
Приравняем $ \underline{Z}_{\textrm{вх}} $ нулю и определим корень характеристического уравнения:
$$ R + pL = 0 \rArr p =-\frac{R}{L} $$
4. $ i_{\textrm{св}}(t) = A \cdot e^{-\frac{R}{L}t} $
5. $ i(t) = \frac{E}{R} + A \cdot e^{-\frac{R}{L}t} $
6. Определяем независимые начальные условия: $ i_{L}(0) $ — ?
Схема до коммутации приведена на рис. 1.4.
Т.к. в схеме обрыв, то $ i_{L}(0) = 0 $. В нашей схеме ток в индуктивности является искомым током, т.е.
$$ i = i_{L} $$
7. Определяем зависимые начальные условия: $ i(0) $ — ?
Т.к. искомый ток является током в индуктивности, то
$$ i(0) = i_{L}(0) = 0 $$
8. $ 0 = \frac{E}{R} + A \rArr A=-\frac{E}{R} $
9. Искомый ток
$$ i(t) = \frac{E}{R}-\frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{R}{L}t} = \frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t}) $$
График изменения тока указан на рис. 1.5.
Определим напряжение на индуктивности:
$$ u_{L}(t) = L \frac{di}{dt} = L (\frac{E}{R}-\frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{R}{L}t})’ = L(-\frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{R}{L}t} \cdot (\frac{-R}{L})) = Ee^{-\frac{R}{L}t} $$
2. Короткое замыкание ветви $ RL $
Дано: E, R1, R, L (рис. 2.1)
Найти: iL(t)
1. $ i_{L}(t) = i_{L\textrm{у}}(t) + i_{L\textrm{св}}(t) $
2. $ i_{L\textrm{у}} $ — ?
Схема после коммутации принимает вид согласно рис. 2.2.
$$ i_{L\textrm{у}} = 0, $$
т.к. весь ток потечёт через закоротку.
3. Составим характеристическое уравнение цепи после коммутации (рис. 2.3).
Входное сопротивление
$$ \underline{Z}_{\textrm{вх}} = R + pL $$
Приравняем $ \underline{Z}_{\textrm{вх}} $ нулю и определим корень характеристического уравнения:
$$ R + pL = 0 \rArr p =-\frac{R}{L} $$
4. $ i_{L\textrm{св}}(t) = A \cdot e^{-\frac{R}{L}t} $
5. $ i_{L}(t) = A \cdot e^{-\frac{R}{L}t} $
$ i_{L}(0) = A $
6. Определяем независимые начальные условия: $ i_{L}(0) $ — ?
Схема до коммутации приведена на рис. 2.4.
$$ i_{L} = \frac{E}{R+R_{1}} $$
7. Определяем зависимые начальные условия: $ i_{L}(0) $ — ?
$$ i_{L}(0) = \frac{E}{R+R_{1}} $$
8. Из п. 5 получаем
$$ \frac{E}{R+R_{1}} = A $$
9. Искомый ток
$$ i_{L}(t) = \frac{E}{R+R_{1}} \cdot e^{-\frac{R}{L}t} $$
График изменения тока указан на рис. 2.5.
3. Включение ветви $ RC $ к источнику постоянной ЭДС (заряд конденсатора)
Дано: E, R, C (рис. 3.1)
Найти: i(t), uC(t)
1. $ u_{C}(t) = u_{C\textrm{у}}(t) + u_{C\textrm{св}}(t) $
2. $ u_{C\textrm{у}} $ — ?
Схема после коммутации принимает вид согласно рис. 3.2 (т.к. схема постоянного тока, то $ x_{C} = ∞ $).
Всё напряжение будет на месте обрыва, т.е.
$$ u_{C\textrm{у}} = E $$
3. Составим характеристическое уравнение цепи после коммутации (рис. 3.3).
Входное сопротивление
$$ \underline{Z}_{\textrm{вх}} = R + \frac{1}{pC} $$
Приравняем $ \underline{Z}_{\textrm{вх}} $ нулю и определим корень характеристического уравнения:
$$ R + \frac{1}{pC} = 0 \rArr p =-\frac{1}{RC} $$
4. $ u_{C\textrm{св}}(t) = A \cdot e^{-\frac{t}{RC}} $
5. $ u_{C}(t) = E + A \cdot e^{-\frac{t}{RC}} $
$ u_{C}(0) = E + A $
6. Определяем независимые начальные условия: $ u_{C}(0) $ — ?
Т.к. конденсатор не был подключён к источнику, то
$$ u_{C}(0) = 0 $$
7. Т.к. мы определяем напряжение, то зависимые начальные условия определять не требуется.
8. $ 0 = E + A \rArr A=-E $
9. Искомое напряжение
$$ u_{C}(t) = E-E \cdot e^{-\frac{t}{RC}} = E \cdot (1-e^{-\frac{t}{RC}}) $$
График изменения напряжения указан на рис. 3.4.
Определим ток через конденсатор:
$$ i_{C}(t) = C \frac{du_{C}}{dt} = \frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{t}{RC}} $$
График изменения тока указан на рис. 3.5.
По графику рис 3.5 видно, что в первый момент после коммутации ёмкость ведёт себя как закоротка.
4. Короткое замыкание ветви $ RC $ (разряд конденсатора)
Дано: E, R1, R, C (рис. 4.1)
Найти: i(t), uC(t)
1. $ u_{C}(t) = u_{C\textrm{у}}(t) + u_{C\textrm{св}}(t) $
2. $ u_{C\textrm{у}} $ — ?
Схема после коммутации принимает вид согласно рис. 4.2.
Ветка с конденсатором оказывается параллельной закоротке, а напряжение на конденсаторе равно нулю, т.е.
$$ u_{C\textrm{у}} = 0 $$
3. Составим характеристическое уравнение цепи после коммутации (рис. 4.3).
Входное сопротивление
$$ \underline{Z}_{\textrm{вх}} = R + \frac{1}{pC} $$
Приравняем $ \underline{Z}_{\textrm{вх}} $ нулю и определим корень характеристического уравнения:
$$ R + \frac{1}{pC} = 0 \rArr p =-\frac{1}{RC} $$
4. $ u_{C\textrm{св}}(t) = A \cdot e^{-\frac{t}{RC}} $
5. $ u_{C}(t) = 0 + A \cdot e^{-\frac{t}{RC}} $
$ u_{C}(0) = A $
6. Определяем независимые начальные условия (рис 4.4): $ u_{C}(0) $ — ?
Т.к. конденсатор при постоянном токе представляет собой обрыв, то всё напряжение источника ЭДС прикладывается к месту обрыва, т.е.
$$ u_{C}(0) = E $$
7. Т.к. мы определяем напряжение, то зависимые начальные условия определять не требуется.
8. $ A=E $
9. Искомое напряжение
$$ u_{C}(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{RC}} $$
График изменения напряжения указан на рис. 4.5.
Определим ток через конденсатор:
$$ i_{C}(t) = C \frac{du_{C}}{dt} = C \cdot E \cdot (-\frac{1}{RC}) \cdot e^{-\frac{t}{RC}} = -\frac{E}{R} e^{-\frac{t}{RC}} $$
График изменения тока указан на рис. 4.6.
