Эквивалентные преобразования в электрических цепях

При расчёте электрических цепей грамотно проведённые преобразования позволяют уменьшить число уравнений, описывающих работу схемы. Далее приведены основные эквивалентные преобразования.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей.

Последовательное соединение пассивных элементов

Пример схемы приведён на рис. 1.

Последовательное соединение пассивных элементов
Рис. 1. Преобразование последовательно соединённых элементов

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ \underline{Z}={{\underline{Z}}_{1}}+{{\underline{Z}}_{2}}. $$

В общем случае при последовательном соединении N элементов

$$ \underline{Z}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\underline{Z}}_{i}}}. $$

Параллельное соединение пассивных элементов

Пример схемы приведён на рис. 2.

Параллельное соединение пассивных элементов
Рис. 2. Преобразование параллельно соединённых элементов

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ \underline{Z}=\frac{{{\underline{Z}}_{1}}\cdot {{\underline{Z}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{1}}+{{\underline{Z}}_{2}}}. $$

Параллельное соединение большого количества ветвей

Пример схемы приведён на рис. 3.

Параллельное соединение большого количества ветвей
Рис. 3. Преобразование параллельно соединённых ветвей

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ \underline{Z}=\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{1}{{{\underline{Z}}_{i}}}}}. $$

Параллельное соединение ветвей с источниками ЭДС

Пример схемы приведён на рис. 4.

Параллельное соединение ветвей с источниками ЭДС
Рис. 4. Преобразование параллельно соединённых ветвей с источниками ЭДС

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ \underline{Z}=\frac{{{\underline{Z}}_{1}}\cdot {{\underline{Z}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{1}}+{{\underline{Z}}_{2}}}. $$

Эквивалентная ЭДС определяется по формуле

$$ \underline{E}=\frac{{{\underline{E}}_{1}}{{\underline{Z}}_{2}}+{{\underline{E}}_{2}}{{\underline{Z}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}+{{\underline{Z}}_{2}}}. $$

В общем случае при параллельном соединении N ветвей с источниками ЭДС эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ \underline{Z}=\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{1}{{{\underline{Z}}_{i}}}}}. $$

Эквивалентная ЭДС при параллельном соединении N ветвей определяется по формуле

$$ \underline{E}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{{{\underline{E}}_{i}}}{{{\underline{Z}}_{i}}}}}{\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{1}{{{\underline{Z}}_{i}}}}}. $$

Преобразование источника ЭДС в источник тока

Пример схемы приведён на рис. 5.

Преобразование источника ЭДС в источник тока
Рис. 5. Преобразование источника ЭДС в источник тока

Сила тока источника тока определяется по формуле

$$ \underline{J}=\frac{\underline{E}}{\underline{Z}}. $$

Проводимость ветви, параллельной источнику току, определяется по формуле

$$ \underline{Y}=\frac{1}{\underline{Z}}. $$

Преобразование источника тока в источник ЭДС

Пример схемы приведён на рис. 6.

Преобразование источника тока в источник ЭДС
Рис. 6. Преобразование источника тока в источник ЭДС

ЭДС определяется по формуле

$$ \underline{E}=\frac{\underline{J}}{\underline{Y}}. $$

Сопротивление определяется по формуле

$$ \underline{Z}=\frac{1}{\underline{Y}}. $$

Преобразование звезды сопротивлений в треугольник

Пример схемы приведён на рис. 7.

Преобразование звезды сопротивлений в треугольник
Рис. 7. Преобразование звезды в треугольник

Сопротивления треугольника определяются по формулам

$$ {{\underline{Z}}_{12}}={{\underline{Z}}_{1}}+{{\underline{Z}}_{2}}+\frac{{{\underline{Z}}_{1}}\cdot {{\underline{Z}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{3}}}, $$

$$ {{\underline{Z}}_{23}}={{\underline{Z}}_{2}}+{{\underline{Z}}_{3}}+\frac{{{\underline{Z}}_{2}}\cdot {{\underline{Z}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}, $$

$$ {{\underline{Z}}_{31}}={{\underline{Z}}_{1}}+{{\underline{Z}}_{3}}+\frac{{{\underline{Z}}_{1}}\cdot {{\underline{Z}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{2}}}. $$

Калькулятор преобразования звезды сопротивлений в треугольник

$ \underline{Z}_1 = $ $ \textrm{Ом} $
$ \underline{Z}_2 = $ $ \textrm{Ом} $
$ \underline{Z}_3 = $ $ \textrm{Ом} $

Преобразование треугольника сопротивлений в звезду

Пример схемы приведён на рис. 8.

Преобразование треугольника сопротивлений в звезду
Рис. 8. Преобразование треугольника в звезду

Сопротивления звезды определяются по формулам

$$ {{\underline{Z}}_{1}}=\frac{{{\underline{Z}}_{31}}\cdot {{\underline{Z}}_{12}}}{{{\underline{Z}}_{12}}+{{\underline{Z}}_{31}}+{{\underline{Z}}_{23}}}, $$

$$ {{\underline{Z}}_{2}}=\frac{{{\underline{Z}}_{23}}\cdot {{\underline{Z}}_{12}}}{{{\underline{Z}}_{12}}+{{\underline{Z}}_{31}}+{{\underline{Z}}_{23}}}, $$

$$ {{\underline{Z}}_{3}}=\frac{{{\underline{Z}}_{31}}\cdot {{\underline{Z}}_{23}}}{{{\underline{Z}}_{12}}+{{\underline{Z}}_{31}}+{{\underline{Z}}_{23}}}. $$

Калькулятор преобразования треугольника сопротивлений в звезду

$ \underline{Z}_{12} = $ $ \textrm{Ом} $
$ \underline{Z}_{23} = $ $ \textrm{Ом} $
$ \underline{Z}_{31} = $ $ \textrm{Ом} $

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

2 комментария для “Эквивалентные преобразования в электрических цепях”

Добавить комментарий

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.