При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.
Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.
Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.
Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].
Первый закон Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:
$$ \sum{i} = 0, $$
или в комплексной форме
$$ \sum{\underline{I}} = 0. $$
Второй закон Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:
$$ \sum{\underline{Z} \cdot \underline{I}} = \sum{\underline{E}}. $$
Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm{у}-1 $, где $ N_\textrm{у} $ – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm{в}-N_\textrm{у}+1 $, где $ N_\textrm{в} $ – число ветвей. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что контур с источником тока не рассматривается.
Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.
Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь
Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).
Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи
Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока $ \underline{J}_{1} $, не рассматривается.
Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:
$$ \underline{I}_{1}- \underline{I}_{2}- \underline{I}_{3} = 0; $$
для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:
$$ -\underline{I}_{1}- \underline{I}_{4} + \underline{I}_{6} = 0; $$
для узла «3 у.»:
$$ \underline{I}_{2}+ \underline{I}_{4} + \underline{I}_{5}- \underline{I}_{7} = 0; $$
для узла «4 у.»:
$$ \underline{I}_{3}- \underline{I}_{5}- \underline{J}_{1} = 0. $$
Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:
$$ \underline{Z}_{C1} \cdot \underline{I}_{1} + R_{2} \cdot \underline{I}_{2}- \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} = \underline{E}_{1}; $$
для контура «2 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:
$$ -R_{2} \cdot \underline{I}_{2} + R_{4} \cdot \underline{I}_{3} + \underline{Z}_{C2} \cdot \underline{I}_{5} = \underline{E}_{2}; $$
для контура «3 к.»:
$$ \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} + (\underline{Z}_{L2} + R_{1}) \cdot \underline{I}_{6} + R_{3} \cdot \underline{I}_{7} = \underline{E}_{3}; $$
где $ \underline{Z}_{C} = -\frac{1}{\omega C} $, $ \underline{Z}_{L} = \omega L $.
Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:
$$ \begin{cases} \underline{I}_{1}- \underline{I}_{2}- \underline{I}_{3} = 0 \\ -\underline{I}_{1}- \underline{I}_{4} + \underline{I}_{6} = 0 \\ \underline{I}_{2}+ \underline{I}_{4} + \underline{I}_{5}- \underline{I}_{7} = 0 \\ \underline{I}_{3}- \underline{I}_{5}- \underline{J}_{1} = 0 \\ \underline{Z}_{C1} \cdot \underline{I}_{1} + R_{2} \cdot \underline{I}_{2}- \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} = \underline{E}_{1} \\ -R_{2} \cdot \underline{I}_{2} + R_{4} \cdot \underline{I}_{3} + \underline{Z}_{C2} \cdot \underline{I}_{5} = \underline{E}_{2} \\ \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} + (\underline{Z}_{L2} + R_{1}) \cdot \underline{I}_{6} + R_{3} \cdot \underline{I}_{7} = \underline{E}_{3} \end{cases} $$
В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:
$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \underline{Z}_{C1} & R_{2} & 0 & -\underline{Z}_{L1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -R_{2} & R_{4} & 0 & \underline{Z}_{C2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \underline{Z}_{L1} & 0 & R_{1}+\underline{Z}_{L2} & R_{3} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \underline{I}_{1} \\ \underline{I}_{2} \\ \underline{I}_{3} \\ \underline{I}_{4} \\ \underline{I}_{5} \\ \underline{I}_{6} \\ \underline{I}_{7} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \underline{J}_{1} \\ \underline{E}_{1} \\ \underline{E}_{2} \\ \underline{E}_{3} \\ \end{bmatrix} $$
Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:
>> syms R1 R2 R3 R4 Zc1 Zc2 Zl1 Zl2 J1 E1 E2 E3;
>> A = [1 -1 -1 0 0 0 0;
-1 0 0 -1 0 1 0;
0 1 0 1 1 0 -1;
0 0 1 0 -1 0 0;
Zc1 R2 0 -Zl1 0 0 0;
0 -R2 R4 0 Zc2 0 0;
0 0 0 Zl1 0 (R1+Zl2) R3];
>> b = [0;
0;
0;
J1;
E1;
E2;
E3];
>> I = A\b
В результате получим вектор-столбец $ \underline{\bold{I}} $ токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.
Список использованной литературы
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.