Наряду с решением электрических схем по законам Кирхгофа и методом контурных токов используется метод узловых потенциалов [1]. Его применение рационально в случае, если количество узлов больше количества независимых контуров в схеме.
Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.
Метод узловых потенциалов (МУП) заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа и закона Ома определяются напряжения в узлах электрической цепи (потенциалы узлов φ) относительно некоторого базисного узла, а затем по закону Ома находятся токи в отдельных ветвях. Количество уравнений для решения электрической цепи по МУП равно $ N_{\textrm{у}}- 1- N_{E} $, где $ N_{\textrm{у}} $ – число узлов, $ N_{E} $ – число особых ветвей. Особой ветвью называется такая ветвь, в которой имеется только источник напряжения и отсутствует сопротивление.
Вывод метода
Вывод метода узловых потенциалов рассмотрим на примере схемы, указанной на рис. 1. Обозначенное комплексное сопротивление $ \underline{Z} $ представляет собой эквивалентное сопротивление соответствующей ветви. Проводимостью ветви называется обратная этому значению величина, т.е. $ \underline{Y} = \frac{1}{\underline{Z}} $.
Рис. 1. Обобщённый пример электрической цепи
Обозначим на схеме токи, задав им произвольное направление, и пронумеруем узлы на схеме. В качестве базисного узла, относительно которого будем производить расчёты потенциалов, выберем узел 4 ($ \underline{\varphi}_{4} = 0 $).
Рассмотрим на примере 1-го узла вывод формулы расчёта узлового потенциала, для этого запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:
$$ -\underline{I}_{1}-\underline{I}_{2}-\underline{I}_{3}-\underline{J}_{1} = 0. $$
По закону Ома выразим неизвестные токи в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле, через потенциалы узлов по концам этих ветвей:
$$ {{\underline{I}}_{1}}=\frac{{{\underline{U}}_{12}}+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}, $$
$$ {{\underline{I}}_{2}}=\frac{{{\underline{U}}_{13}}+{{\underline{E}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{2}}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{2}}}, $$
$ \underline{I}_3=\frac{{{\underline{U}}_{14}}+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\cancel{{{\underline{\varphi }}_{4}}}}^{0}})+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}}. $
Подставим выраженные токи в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, заменив сопротивления проводимостями, и сгруппируем уравнение относительно неизвестных потенциалов:
$$ -\frac{(\underline{\varphi}_{1}-\underline{\varphi}_{2}) + \underline{E}_{1}}{\underline{Z}_{1}}- \frac{(\underline{\varphi}_{1}-\underline{\varphi}_{3}) + \underline{E}_{2}}{\underline{Z}_{2}}-\frac{\underline{\varphi}_{1} + \underline{E}_{3}}{\underline{Z}_{3}}- \underline{J}_{1} = 0, $$
$$ -((\underline{\varphi}_{1}-\underline{\varphi}_{2})+\underline{E}_{1}) \cdot \underline{Y}_{1}- ((\underline{\varphi}_{1}-\underline{\varphi}_{3})+\underline{E}_{2}) \cdot \underline{Y}_{2}- (\underline{\varphi}_{1} + \underline{E}_{3}) \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{J}_{1} = 0, $$
$$ -\underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1} + \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{2} + \underline{\varphi}_{3} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{E}_{2} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{J}_{1} = 0, $$
$$ \underline{\varphi}_{1} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{2} + \underline{Y}_{3})- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{3} \cdot \underline{Y}_{2} =-\underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{E}_{2} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{J}_{1}. $$
Расписав уравнения для остальных узлов, получим систему уравнений, решив которую можно получить значения неизвестных потенциалов:
$$ \begin{cases} \underline{\varphi}_{1} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{2} + \underline{Y}_{3})- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{3} \cdot \underline{Y}_{2} =-\underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{E}_{2} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{J}_{1} \\ \underline{\varphi}_{2} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{4} + \underline{Y}_{6})- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{3} \cdot \underline{Y}_{4} = \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1} + \underline{E}_{4} \cdot \underline{Y}_{4} + \underline{E}_{6} \cdot \underline{Y}_{6} + \underline{J}_{1} \\ \underline{\varphi}_{3} \cdot (\underline{Y}_{2} + \underline{Y}_{4} + \underline{Y}_{5})- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{4} = \underline{E}_{2} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{E}_{4} \cdot \underline{Y}_{4} + \underline{E}_{5} \cdot \underline{Y}_{5} \end{cases} $$
Нахождение токов осуществляется по закону Ома через вычисленные потенциалы узлов:
$$ {{\underline{I}}_{1}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}, $$
$$ {{\underline{I}}_{2}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{2}}}, $$
$$ {{\underline{I}}_{3}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{4}})+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}},$$
$$ {{\underline{I}}_{4}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{3}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{4}}}{{{\underline{Z}}_{4}}},$$
$$ {{\underline{I}}_{5}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{4}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{5}}}{{{\underline{Z}}_{5}}},$$
$$ {{\underline{I}}_{6}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{4}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{6}}}{{{\underline{Z}}_{6}}}.$$
Вывод частного случая метода узловых потенциалов
Рассмотрим вывод уравнений для расчёта цепей с двумя и более особыми ветвями, не имеющими общих узлов. Вывод уравнений произведём на примере схемы рис. 2. Как и в предыдущем случае, произвольно обозначим на схеме токи и пронумеруем узлы. Для уменьшения числа уравнений в качестве базисного узла примем узел 4, к которому примыкает особая ветвь с $ \underline{E}_{4} $. Таким образом потенциал $ \underline{\varphi}_{4} = 0 \space \textrm{В} $, а потенциал $ \underline{\varphi}_{1} = \underline{E}_{4} $.
Рис. 2. Электрическая цепь с двумя особыми ветвями без общего узла.
Потенциалы по концам особой ветви с источником $ \underline{E}_{6} $ невозможно вычислить по уравнениям, выведенным в предыдущем пункте, поскольку проводимость этой ветви будет бесконечно большой. В то же время потенциалы узлов этой ветви будут отличаться на величину ЭДС. Поэтому достаточно определить потенциал с одной стороны. Для этого составим уравнение по первому закону Кирхгофа, к примеру, для узла 6:
$$ \underline{I}_{8} + \underline{I}_{9}- \underline{I}_{6} = 0. $$
Токи $ \underline{I}_{8} $ и $ \underline{I}_{9} $ можно выразить по закону Ома через потенциалы по концам ветвей, в которых они протекают, но ток $ \underline{I}_{6} $ остаётся неизвестным. Выразим его через первый закон Кирхгофа для узла 3, расположенного на противоположном конце особой ветви, и подставим в предыдущее уравнение:
$$ \underline{I}_{6} =- \underline{I}_{1}- \underline{I}_{3}- \underline{J}_{1}, $$
$$ \underline{I}_{8} + \underline{I}_{9} + \underline{I}_{1} + \underline{I}_{3} + \underline{J}_{1} = 0. $$
По закону Ома выразим токи в ветвях через потенциалы узлов:
$$ {{\underline{I}}_{1}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}, $$
$$ {{\underline{I}}_{3}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{2}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}}, $$
$$ {{\underline{I}}_{8}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{5}}-{{\underline{\varphi }}_{6}})+{{\underline{E}}_{8}}}{{{\underline{Z}}_{8}}}, $$
$$ {{\underline{I}}_{9}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{4}}-{{\underline{\varphi }}_{6}})+{{\underline{E}}_{9}}}{{{\underline{Z}}_{9}}}. $$
Подставим выраженные токи в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, заменив сопротивления проводимостями, и сгруппируем уравнение относительно неизвестных потенциалов:
$$ \frac{(\underline{\varphi}_{5}- \underline{\varphi}_{6}) + \underline{E}_{8}}{\underline{Z}_{8}} + \frac{(\underline{\varphi}_{4}- \underline{\varphi}_{6}) + \underline{E}_{9}}{\underline{Z}_{9}} + \frac{(\underline{\varphi}_{1}- \underline{\varphi}_{3}) + \underline{E}_{1}}{\underline{Z}_{1}} + \frac{(\underline{\varphi}_{2}- \underline{\varphi}_{3}) + \underline{E}_{3}}{\underline{Z}_{3}} +\underline{J}_{1} = 0, $$
$$ -\underline{\varphi}_{6} \cdot (\underline{Y}_{8} + \underline{Y}_{9}) + \underline{\varphi}_{4} \cdot \underline{Y}_{9} + \underline{\varphi}_{5} \cdot \underline{Y}_{8} + \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{3} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{3}) + \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{3} = \\=-\underline{E}_{8} \cdot \underline{Y}_{8}- \underline{E}_{9} \cdot \underline{Y}_{9}- \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{J}_{1}, $$
$$ \underline{\varphi}_{6} \cdot (\underline{Y}_{8} + \underline{Y}_{9})- \underline{\varphi}_{4} \cdot \underline{Y}_{9}- \underline{\varphi}_{5} \cdot \underline{Y}_{8}- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{3} + \underline{\varphi}_{3} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{3}) = \\ = \underline{E}_{8} \cdot \underline{Y}_{8} + \underline{E}_{9} \cdot \underline{Y}_{9} + \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1} + \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3} + \underline{J}_{1}. $$
Выразим потенциал узла 3 через $ \underline{E}_{6} $ и $ \underline{\varphi}_{6} $ и подставим в предыдущее уравнение:
$$ \underline{\varphi}_{3} = \underline{\varphi}_{6} + \underline{E}_{6}, $$
$$ \underline{\varphi}_{6} \cdot (\underline{Y}_{8} + \underline{Y}_{9})- \underline{\varphi}_{4} \cdot \underline{Y}_{9}- \underline{\varphi}_{5} \cdot \underline{Y}_{8}- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{3} + (\underline{\varphi}_{6} + \underline{E}_{6}) \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{3}) = \\ = \underline{E}_{8} \cdot \underline{Y}_{8} + \underline{E}_{9} \cdot \underline{Y}_{9} + \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1} + \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3} + \underline{J}_{1}, $$
$$ \underline{\varphi}_{6} \cdot (\underline{Y}_{8} + \underline{Y}_{9} + \underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{3})- \underline{\varphi}_{4} \cdot \underline{Y}_{9}- \underline{\varphi}_{5} \cdot \underline{Y}_{8}- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{3} = \\ = \underline{E}_{8} \cdot \underline{Y}_{8} + \underline{E}_{9} \cdot \underline{Y}_{9} + \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1} + \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{E}_{6} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{3}) + \underline{J}_{1}. $$
Уравнения для расчёта остальных неизвестных потенциалов (в узлах 2 и 5) и токов записываются аналогично предыдущему пункту, а токи в особых ветвях находятся по первому закону Кирхгофа.
Методика расчёта электрических цепей по методу узловых потенциалов приведена здесь.
Список использованной литературы
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.
В свое время в этом методе меня интересовали такие вопросы:
1) Почему количество независимых уравнений, составленных по I закону Кирхгофа равно Nу — 1.
2) Для чего и почему потенциал базисного узла принимается нулю и можно ли принять его любому другому числу?
3) Почему в одной литературе этот метод называется методом узловых потенциалов, в другой литературе методом узловых напряжений?
4) Если метод узловых потенциалов основан на I законе Кирхгофа, составляемым для узлов, то не является ли он частным случаем какого то другого метода, основанного на I уравнении Максвелла (законе Гаусса)?
Попробую ответить на Ваши вопросы следующим образом:
1) Количество уравнений по 1-му закону Кирхгофа определяется количеством неизвестных узловых потенциалов.
2) Выбор базисного узла необходим для определения точки отсчёта. Поскольку физический смысл имеет не сам потенциал, а разность потенциалов, то точка отсчёта может быть выбрана любой, рациональность использования нуля объясняется простотой вычислений.
3) К сожалению, у меня нет столь глубокой заинтересованности в истории становления ТОЭ. Могу лишь сделать предположение, о том, что вывести данный метод могли несколько авторов одновременно, и каждый из них решил назвать его по своему.
4) Считаю данный вопрос риторическим, ответ на который зависит от того, что считать постулатом — Теорему Гаусса или закон Кулона. Но хочу отметить, что одного 1-го закона Кирхгофа не достаточно для вывода МУП (см. текст выше)
1) Ладно… , почему тогда количество неизвестных узловых потенциалов равно Nу-1?
2) Обязательно ли выбирать базисную точку одну?
3) Вопрос не в том, кто исторически первым открыл (вывел) данный метод. В том, что в конечном счете определяется — напряжения или потенциалы?
4) Вопрос отнюдь не риторический. Как известно I-ый закон Кирхгофа выводится из I-го уравнения Максвелла. Однако I-ое уравнение Максвелла справедливо не только для узлов, а для любой замкнутой поверхности, через которую рассматривается поток электрической индукции.
1) Если прочесть статью, то там приведена другая формула.
2) Базисная «точка», предполагает начало отсчёта. Всё имеет свое начало, в том числе и расчёт.
3) В конечном итоге определяется ток
4) Рад что Вы нашли ответ.
Первый вопрос отпадает поскольку мы напряжение одного узла задаем заранее — остальные остаются не известными.
Хотя не совсем отпадает — как доказать, что остальные остались независимыми?
Понятно, что ответы на вопросы вы искать не хотите… у меня другой вопрос:
Какова цель приведенной стати: переписать учебник ТОЭ, дать более простое изложение вопроса или освятить вопрос с новой стороны? То, что описано в данной статье вполне доступно изложено в бородатых учебниках ТОЭ. Новую сторону в статье нашел только про поправку к количеству уравнений при наличии особой ветви, которая на практике вообще не учитывается, поскольку идеальных источников напряжения не бывает.
А ваши отсылки к статье (о том, что МУП основан помимо I закона Кирхгофа на законе Ома и, что количество уравнений равно не Nу — 1, а Nу — 1 — Ne) если честно выглядят смешно и выглядят на мой взгляд некрасиво.