Расчёт электрических цепей по методу узловых потенциалов: вывод метода

Наряду с решением электрических схем по законам Кирхгофа и методом контурных токов используется метод узловых потенциалов [1]. Его применение рационально в случае, если количество узлов больше количества независимых контуров в схеме.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей.

Метод узловых потенциалов (МУП) заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа и закона Ома определяются напряжения в узлах электрической цепи (потенциалы узлов φ) относительно некоторого базисного узла, а затем по закону Ома находятся токи в отдельных ветвях. Количество уравнений для решения электрической цепи по МУП равно Nу – 1 – NЕ, где Nу – число узлов, NE – число особых ветвей. Особой ветвью называется такая ветвь, в которой имеется только источник напряжения и отсутствует сопротивление.

Вывод метода

Вывод метода узловых потенциалов рассмотрим на примере схемы, указанной на рис. 1. Обозначенное комплексное сопротивление Z представляет собой эквивалентное сопротивление соответствующей ветви. Проводимостью ветви называется обратная этому значению величина, т.е. Y = 1 / Z.


Рис. 1. Обобщённый пример электрической цепи

Обозначим на схеме токи, задав им произвольное направление, и пронумеруем узлы на схеме. В качестве базисного узла, относительно которого будем производить расчёты потенциалов, выберем узел 4 (φ4 = 0).

Рассмотрим на примере 1-го узла вывод формулы расчёта узлового потенциала, для этого запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

I1I2I3 − J1 = 0.

По закону Ома выразим неизвестные токи в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле, через потенциалы узлов по концам этих ветвей:

$$ {{\underline{I}}_{1}}=\frac{{{\underline{U}}_{12}}+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{2}}=\frac{{{\underline{U}}_{13}}+{{\underline{E}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{2}}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{2}}}, $$

$ \underline{I}_3=\frac{{{\underline{U}}_{14}}+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\cancel{{{\underline{\varphi }}_{4}}}}^{0}})+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}}. $

Подставим выраженные токи в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, заменив сопротивления проводимостями, и сгруппируем уравнение относительно неизвестных потенциалов:




Расписав уравнения для остальных узлов, получим систему уравнений, решив которую можно получить значения неизвестных потенциалов:

Нахождение токов осуществляется по закону Ома через вычисленные потенциалы узлов:

$$ {{\underline{I}}_{1}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{2}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{2}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{3}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{4}})+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}},$$

$$ {{\underline{I}}_{4}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{3}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{4}}}{{{\underline{Z}}_{4}}},$$

$$ {{\underline{I}}_{5}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{4}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{5}}}{{{\underline{Z}}_{5}}},$$

$$ {{\underline{I}}_{6}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{4}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{6}}}{{{\underline{Z}}_{6}}}.$$

Вывод частного случая метода узловых потенциалов

Рассмотрим вывод уравнений для расчёта цепей с двумя и более особыми ветвями, не имеющими общих узлов. Вывод уравнений произведём на примере схемы рис. 2. Как и в предыдущем случае, произвольно обозначим на схеме токи и пронумеруем узлы. Для уменьшения числа уравнений в качестве базисного узла примем узел 4, к которому примыкает особая ветвь с Е4.  Таким образом потенциал φ4 = 0 В, а потенциал φ1 = E4.


Рис. 2. Электрическая цепь с двумя особыми ветвями без общего узла.

Потенциалы по концам особой ветви с источником Е6 невозможно вычислить по уравнениям, выведенным в предыдущем пункте, поскольку проводимость этой ветви будет бесконечно большой. В то же время потенциалы узлов этой ветви будут отличаться на величину ЭДС. Поэтому достаточно определить потенциал с одной стороны. Для этого составим уравнение по первому закону Кирхгофа, к примеру, для узла 6:

I8 + I9I6 = 0.

Токи I8 и I9 можно выразить по закону Ома через потенциалы по концам ветвей, в которых они протекают, но ток I6 остаётся неизвестным. Выразим его через первый закон Кирхгофа для узла 3, расположенного на противоположном конце особой ветви, и подставим в предыдущее уравнение:

I6 = −I1I3J1,

I8 + I9 + I1 + I3 + J1 = 0.

По закону Ома выразим токи в ветвях через потенциалы узлов:

$$ {{\underline{I}}_{1}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{3}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{2}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{8}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{5}}-{{\underline{\varphi }}_{6}})+{{\underline{E}}_{8}}}{{{\underline{Z}}_{8}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{9}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{4}}-{{\underline{\varphi }}_{6}})+{{\underline{E}}_{9}}}{{{\underline{Z}}_{9}}}. $$

Подставим выраженные токи в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, заменив сопротивления проводимостями, и сгруппируем уравнение относительно неизвестных потенциалов:

Выразим потенциал узла 3 через Е6 и φ6 и подставим в предыдущее уравнение:

Уравнения для расчёта остальных неизвестных потенциалов (в узлах 2 и 5) и токов записываются аналогично предыдущему пункту, а токи в особых ветвях находятся по первому закону Кирхгофа.

Методика расчёта электрических цепей по методу узловых потенциалов приведена здесь.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

7 комментариев для “Расчёт электрических цепей по методу узловых потенциалов: вывод метода”

  1. В свое время в этом методе меня интересовали такие вопросы:
    1) Почему количество независимых уравнений, составленных по I закону Кирхгофа равно Nу — 1.
    2) Для чего и почему потенциал базисного узла принимается нулю и можно ли принять его любому другому числу?
    3) Почему в одной литературе этот метод называется методом узловых потенциалов, в другой литературе методом узловых напряжений?
    4) Если метод узловых потенциалов основан на I законе Кирхгофа, составляемым для узлов, то не является ли он частным случаем какого то другого метода, основанного на I уравнении Максвелла (законе Гаусса)?

    1. Попробую ответить на Ваши вопросы следующим образом:
      1) Количество уравнений по 1-му закону Кирхгофа определяется количеством неизвестных узловых потенциалов.
      2) Выбор базисного узла необходим для определения точки отсчёта. Поскольку физический смысл имеет не сам потенциал, а разность потенциалов, то точка отсчёта может быть выбрана любой, рациональность использования нуля объясняется простотой вычислений.
      3) К сожалению, у меня нет столь глубокой заинтересованности в истории становления ТОЭ. Могу лишь сделать предположение, о том, что вывести данный метод могли несколько авторов одновременно, и каждый из них решил назвать его по своему.
      4) Считаю данный вопрос риторическим, ответ на который зависит от того, что считать постулатом — Теорему Гаусса или закон Кулона. Но хочу отметить, что одного 1-го закона Кирхгофа не достаточно для вывода МУП (см. текст выше)

  2. Александр П.

    1) Ладно… , почему тогда количество неизвестных узловых потенциалов равно Nу-1?
    2) Обязательно ли выбирать базисную точку одну?
    3) Вопрос не в том, кто исторически первым открыл (вывел) данный метод. В том, что в конечном счете определяется — напряжения или потенциалы?
    4) Вопрос отнюдь не риторический. Как известно I-ый закон Кирхгофа выводится из I-го уравнения Максвелла. Однако I-ое уравнение Максвелла справедливо не только для узлов, а для любой замкнутой поверхности, через которую рассматривается поток электрической индукции.

    1. 1) Если прочесть статью, то там приведена другая формула.
      2) Базисная «точка», предполагает начало отсчёта. Всё имеет свое начало, в том числе и расчёт.
      3) В конечном итоге определяется ток
      4) Рад что Вы нашли ответ.

  3. Александр П.

    Понятно, что ответы на вопросы вы искать не хотите… у меня другой вопрос:
    Какова цель приведенной стати: переписать учебник ТОЭ, дать более простое изложение вопроса или освятить вопрос с новой стороны? То, что описано в данной статье вполне доступно изложено в бородатых учебниках ТОЭ. Новую сторону в статье нашел только про поправку к количеству уравнений при наличии особой ветви, которая на практике вообще не учитывается, поскольку идеальных источников напряжения не бывает.
    А ваши отсылки к статье (о том, что МУП основан помимо I закона Кирхгофа на законе Ома и, что количество уравнений равно не Nу — 1, а Nу — 1 — Ne) если честно выглядят смешно и выглядят на мой взгляд некрасиво.

Добавить комментарий

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.