Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов (МУП), описанный здесь и здесь, излагается классическим (традиционным) способом, который, на мой взгляд, не раскрывает всей красоты метода, не говоря уже о том, что он не позволяет учитывать наличие взаимной индукции между ветвями и др. Ниже будет показан матрично-топологический способ вывода уравнений МУП, который позволяет не только учитывать наличие взаимной индукции между ветвями, но и делает вывод уравнений более наглядным и понятным. Кроме того, будет дан ряд замечаний к МУП, которые вскроют глубинную суть метода и откроют путь к другим замечательным методам расчета электрических цепей: методу узловых напряжений (МУН) и методам расчета «ортогональных» цепей (или, более правильно, «биортогональным»), о которых уже шла речь в статье.

Начнем с описания алгоритма расчета цепей методом узловых потенциалов.

Алгоритм расчета цепи методом МУП

1. Записываются уравнения по первому закону Кирхгофа для всех независимых узлов, т.е. для всех узлов, кроме базисного, или для (nу – 1) узлов:

$$ \tag{1} \bold{M} \cdot (\bold{{I}_{b}} + \bold{\Im_{b}}) + \bold{\Im_{o}} = \bold{0}, $$

где $ \bold{M} $ – матрица соединения ветвей в независимые узлы размера (nу – 1)×nb, где
mi,j = +1 – если ток j-ой ветви входит в i-ый узел;
mi,j = -1 – если ток j-ой ветви выходит из i-го узла;
$ \bold{\Im_{o}} $ – вектор источников тока (далее – ИТ) независимых узлов (при наличии), размера (nу – 1)×1; причем $ \Im_{o,i} $-ый источник, как и элементы матрицы $ \bold{M} $, принимается со знаком «+», если он направлен к узлу и со знаком «-», если он направлен от узла;
$ \bold{{I}_{b}} $ – вектор токов ветвей схемы (искомый вектор);
$ \bold{\Im_{b}} $ – вектор ИТ ветвей; причем $ \Im_{b,i} $-ый элемент принимается со знаком «+», если его направление совпадает с направлением тока ветви и со знаком «-» если не совпадает.

В качестве базисного узла может быть выбран любой узел цепи (обычно, в учебниках ТОЭ, в качестве базисного узла принимают узел земли, но на практике оказывается, что в некоторых случаях целесообразно выбирать и другие узлы).

2. Для каждой ветви составляются уравнения по закону Ома:

$$ \tag{2} \bold{{I}_{b}} = \bold{{Y}_{bb}} \cdot [\bold{{E}_{b}} + \bold{{U}_{b}} ], $$

где $ \bold{{Y}_{bb}} = \bold{{Z}_{bb}^{-1}} $ – матрица проводимости ветвей,

и подставляются в уравнение (1):

$$ \tag{3} \bold{M} \cdot (\bold{{Y}_{bb}} \cdot [\bold{{E}_{b}} + \bold{{U}_{b}} ] + \bold{\Im_{b}}) + \bold{\Im_{o}} = \bold{0}. $$

3. Напряжения ветвей $ \bold{{U}_{b}} $ выражаются через разности потенциалов независимых узлов схемы $ \boldsymbol{\varphi_{o}} $ с балансирующим узлом $ \varphi_{\textrm{б}} $:

$$ \tag{4} \bold{{U}_{b}} = -\bold{{M}_{t}} \cdot (\boldsymbol{\varphi_{o}}-\varphi_{\textrm{б}}), $$

где $ \bold{{M}_{t}} $ – матрица, транспонированная к матрице $ \bold{{M}} $.

$ \varphi_{\textrm{б}} $ – потенциал балансирующего узла, который может быть принят любому наперёд заданному значению (балансирующий узел – это произвольный узел, который может даже не принадлежать рассматриваемой схеме).

Примечание. Действительно, поскольку i-ая строка матрицы $ \bold{{M}_{t}} $ связывает только два узла i-ой ветви (причем один из элементов принимается +1, а второй -1), очевидно, что уравнение (4) справедливо. Знак минус соответствует классическому способу выбора положительных направлений напряжений (направления напряжений может задаваться также условно как и направления токов).

В МУП балансирующий узел выбирают так, чтобы он совпадал с базисным, что соответствует симметричной матрице узловых проводимостей, а его значение обычно принимается равным нулю $ \varphi_{\textrm{б}} = 0 $, при этом уравнение (4) примет вид

$$ \tag{5} \bold{{U}_{b}} = -\bold{{M}_{t}} \cdot \boldsymbol{\varphi_{o}}. $$

4. Записывают узловые уравнения. Для этого формула (5) подставляется в формулу (3):

$$ \bold{M} \cdot (\bold{{Y}_{bb}} \cdot [\bold{{E}_{b}} -\bold{{M}_{t}} \cdot \boldsymbol{\varphi_{o}} ] + \bold{\Im_{b}}) + \bold{\Im_{o}} = \bold{0}, $$

и после небольших преобразований получаются узловые уравнения

$$ \tag{6} \bold{{Y}_{oo}} \cdot \boldsymbol{\varphi_{o}} = \bold{{J}_{o}}, $$

где $ \bold{{Y}_{oo}} = \bold{{M}} \cdot \bold{{Y}_{bb}} \cdot \bold{{M}_{t}} $ – матрица узловых проводимостей;
$ \boldsymbol{\varphi_{o}} $  неизвестные потенциалы узлов;
$ \bold{{J}_{o}} = \bold{\Im_{o}} + \bold{{M}} \cdot \bold{{Y}_{bb}} \cdot \bold{{E}_{b}} + \bold{{M}} \cdot \bold{\Im_{b}} $ – вектор задающих токов узлов, определяемый суммой источников тока узлов $ \bold{\Im_{o}} $, ЭДС ветвей, преобразованных в задающие токи узлов $ \bold{{M}} \cdot \bold{{Y}_{bb}} \cdot \bold{{E}_{b}} $ и ИТ ветвей, преобразованных в задающие токи узлов $ \bold{{M}} \cdot \bold{\Im_{b}} $.

5. Узловое уравнение решается любым известным способом, например, матричным

$$ \tag{7} \boldsymbol{\varphi_{o}} = \bold{[{Y}_{oo}]^{-1}} \cdot \bold{{J}_{o}} $$

и определяются токи ветвей по формуле (2) или с учетом (5):

$$ \tag{8} \bold{{I}_{b}} = \bold{{Y}_{bb}} \cdot [\bold{{E}_{b}}- \bold{{M}_{t}} \cdot \boldsymbol{\varphi_{o}}] $$

Некоторые замечания к МУП

  1. В МУП схемы с особыми ветвями по сути не рассматриваются – такие схемы преобразуются в схемы без особых ветвей (ЭДС особых ветвей переносят через узел, узлы особой ветви «стягивают» в один узел), т.е. при записи уравнений (1) по первому закону Кирхгофа составляется nу – 1 – ne (для схемы с особыми ветвями) или nу – 1 уравнений (для схемы без особых ветвей).
  2. В некоторых учебниках ТОЭ [1], [2] при формулировке первого закона Кирхгофа токи, направленные к узлу, учитываются со знаком «-», от узла со знаком «+», в других [3] наоборот – токи, направленные к узлу принимаются со знаком «+», от узла со знаком «-». Поскольку принципиальной разницы нет (хотя более правилен первый способ), я буду придерживаться второго (более естественного и удобного для запоминания) правила.
  3. Понятно, что в схеме с особыми ветвями взятие обратной матрицы $ \bold{{Z}_{bb}} $ в уравнении (2) было бы невозможно, поэтому в МУП и МУН используют разные преобразования схемы: «стягивают узлы», переносят ЭДС через узел и т.д., но существует способ, который позволяет обойтись без переноса, стягивания и т.д. Этот способ рассматривается в теории «ортогональных» цепей, встречающихся в тензорном анализе сетей, но это тема отдельной публикации.
  4. В учебниках ТОЭ матрица $ \bold{M} $ обычно обозначается через $ \bold{A} $.
  5. Кроме того, в учебниках ТОЭ в уравнении (1) вектор источников тока узлов не учитывается. Причина в том, что в учебниках предполагается, что источники тока узловых пар преобразованы в источники тока ветвей. Мы же рассматриваем более общий случай (на самом деле существует еще более общий случай, который опять же рассматривается в теории «ортогональных» цепей).
  6. Внимательный читатель, наверное, заметил, что в учебниках ТОЭ уравнение (4) не записывается (вместо него используется уравнение (5)). Я записал его здесь намеренно – для общности, чтобы показать, что в общем случае (на самом деле существует более общая форма записи уравнения (4), но она здесь не рассматривается) должна рассматриваться связь между напряжениями ветвей и узловыми напряжениями (ведь разность потенциалов узлов это и есть узловое напряжение). Действительно, в тех же учебниках ТОЭ один из потенциалов принимается равным нулю условно, а что будет если φб ≠ 0, кроме того даже если мы его и приняли равным нулю, это ведь не говорит о том, что его нет, не так ли?!
  7. Следует отметить, что в учебниках ТОЭ [1] в классической записи МУП напряжения ветвей обычно не выражаются через потенциалы узлов (хотя в матрично-топологической записи уравнение (5) отмечается): узловые уравнения получаются после подстановки уравнений для токов ветвей (2) в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа (1) и группировки слагаемых. Выражая напряжения ветвей через потенциалы узлов в матричном виде при выводе узловых уравнений, мы делаем вывод более наглядным и понятным.
  8. Записывая уравнения в матричном виде мы можем легко заметить, как учитывается взаимная индукция между ветвями схемы при расчете электрической цепи (она влияет как на матрицу узловых проводимостей, так и на вектор задающих токов узлов), чего нельзя сказать о классическом (традиционном) выводе МУП, где взаимная индукция не учитывается.

Пример

Найдем узловые напряжения и токи ветвей электрической цепи, схема замещения которой приведена на рисунке 1, а её граф на рисунке 2

 Дано:

Примечание:

* – векторы $ \bold{E_{b}} $, $ \bold{\Im_{b}} $, $ \bold{\Im_{o}} $ являются вектор-столбцами (записаны в строку для сокращения места). Далее будем придерживаться этого же правила (т.е. далее везде под вектор-строками надо понимать вектор-столбцы)

** – числовые значения ЭДС, ИТ и сопротивлений приняты условно, без привязки к реальным параметрам элементов

*** – узлы будем обозначать символом «o», ветви – символом «b»

Решение:

В качестве базисного и балансирующего узла примем узел 5.

1. В соответствии с первым законом Кирхгофа

$$ \bold{M} \cdot (\bold{{I}_{b}} + \bold{\Im_{b}}) + \bold{\Im_{o}} = \bold{0} $$

составим матрицу соединения ветвей в узлы $ \bold{M} $ для независимых узлов o1, o2, o3, o4

2. Найдем матрицу проводимости ветвей

3. Составим узловые уравнения (найдём матрицу узловых проводимостей $ \bold{Y_{oo}} $ и задающих токов узлов $ \bold{J_{o}} $)

4. Найдем неизвестные потенциалы (напряжения) узлов $ \boldsymbol{\varphi_{o}} $, напряжения $ \bold{U_{b}} $ и токи ветвей $ \bold{I_{b}} $

Проверкой убеждаемся, что $ \bold{M} \cdot (\bold{{I}_{b}} + \bold{\Im_{b}}) + \bold{\Im_{o}} = \bold{0}. $

Несложно оценить простоту с которой были получены решения (решение классическим способом, из-за наличия взаимоиндукции, вызвало бы большие затруднения и несмотря на большое количество таблиц заняло бы гораздо больше места).

Литература

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. 1975.
  2. Демирчян К.С., Нейман Л.Р. и др. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. 4-е изд. Питер, 2004 г.
  3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: Учебник для Вузов. – М.: Высшая школа, 1984. – 559 с.
  4. Шимони К. Теоретическая электротехника. Издательство «Мир». Москва 1964 г. – 775 с.

11 комментариев для “Метод узловых потенциалов”

  1. Видимо вопрос связан с составлением матрицы М: при составлении матрицы М источники тока ветвей и узлов рассматривать не надо, т.е. матрицу М надо составлять смотря на граф, а не на схему замещения.
    P.S.: На практике матрица М вообще не составляется

  2. Для простоты понимания можно отметить, что столбцы матрицы М показывают начало и конец ветви, а строки — показывают какие ветви, соединяются в узле (поэтому эта матрица и называется матрицей соединения ветвей в узлы

Добавить комментарий

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.