Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений (МУН), пожалуй, один из самых замечательных методов расчета электрических сетей (цепей). Однако, в отличие от метода узловых потенциалов (МУП), который по сути является частным случаем МУН, данный метод известен не так широко. Цель статьи – устранить этот пробел.

В литературе иногда метод МУН называется методом сечений, а метод МУП называется методом МУН [2]. Как называть методы, вообще говоря, дело вкуса: на мой взгляд более правильно оба метода называть методом МУН, просто в одном случае это будет МУН для узлов (МУП), в другом МУН для сечений. Конечно можно назвать эти методы МУП для узлов и МУП для сечений соответственно, но на практике обычно определяются не потенциалы узлов, а напряжения между узлами, поэтому я придерживаюсь МУН и далее вы увидите почему.

Алгоритм расчета методом МУН для сечений очень похож на алгоритм расчета метода МУП, описанного здесь, однако метод МУН имеет более общий характер: как и МУП, он основан на законе Ома и первом законе Кирхгофа, но, в отличие от МУП, первый закон Кирхгофа составляется не для узлов, а для сечений (справедливость первого закона Кирхгофа для сечений следует из первого уравнения Максвелла [4]).

Сечений в электрической сети может быть большое множество (порядка $n^{n-2} $, где $ n = n_{\textrm{у}}-1 $) – гораздо больше узлов (видимо поэтому данный метод не нашел большой популярности, хотя выбор сечений так же прост, как, например, выбор замкнутых контуров по второму закону Кирхгофа, но об этом мы поговорим чуть ниже).

Естественно, возникает вопрос, зачем нужен МУН для сечений, если можно использовать МУН для узлов (МУП). Ответ действительно не выглядит очевидным и увел бы нас далеко от поставленной цели. Отмечу лишь, что в некоторых случаях этот метод (МУН для сечений) может быть полезен при анализе электрических цепей (например, при расчете цепей по частям методом диакоптики).

На этом я пожалуй закончу введение и рассмотрю собственно сам алгоритм расчета электрических цепей методом МУН для сечений.

Алгоритм расчета цепей методом МУН для сечений

1. Составляются уравнения по первому закону Кирхгофа для всех независимых сечений $ n_{\textrm{с}} $. Всего таких уравнений, как и в МУП, будет $ n_{\textrm{с}} = n_{\textrm{у}}- 1 $, т.е. количество независимых сечений равно количеству независимых узлов:

$$ \tag{1} \bold{M} \cdot (\bold{{I}_{b}} + \bold{\Im_{b}}) + \bold{\Im_{o’}} = \bold{0}, $$

где $ \bold{M} $ – матрица сечений (матрица пересечения сечениями ветвей) размера nс×nb, где mi,j = +1, если ток j-ой ветви входит во внешнюю поверхность i-ого сечения и mi,j = -1, если ток j-ой ветви выходит из внешней поверхности i-ого сечения;
$ \bold{\Im_{o’}} $ – вектор источников тока (далее – ИТ) независимых сечений, может быть определен либо путем переноса ИТ узлов в ИТ ветвей, либо путем преобразования вектора ИТ узлов в вектор ИТ сечений $ \bold{\Im_{o’}} = \bold{C_{o’o}} \cdot \bold{\Im_{o}} $, где $ \bold{C_{o’o}} $ – матрица преобразования источников тока независимых узлов в источники тока независимых сечений;
$ \bold{{I}_{b}} $ – вектор токов ветвей схемы (искомый вектор);
$ \bold{\Im_{b}} $ – вектор ИТ ветвей; где $ \Im_{b,j} $-ый элемент принимается со знаком «+», если его направление совпадает с направлением тока ветви, и со знаком «-», если не совпадает.

2. Для каждой ветви составляются уравнения по закону Ома:

$$ \tag{2} \bold{{I}_{b}} = \bold{{Y}_{bb}} \cdot [\bold{{E}_{b}} + \bold{{U}_{b}} ], $$

где $ \bold{{Y}_{bb}} = \bold{{Z}_{bb}^{-1}} $ – матрица проводимости ветвей,

и подставляются в уравнение (1):

$$ \tag{3} \bold{M} \cdot (\bold{{Y}_{bb}} \cdot [\bold{{E}_{b}} + \bold{{U}_{b}} ] + \bold{\Im_{b}}) + \bold{\Im_{o’}} = \bold{0}. $$

3. Выбираются независимые узловые напряжения $ \bold{U_{o’}} $. Напряжения ветвей $ \bold{{U}_{b}} $ выражаются через независимые узловые напряжения $ \bold{U_{o’}} $ (сравните с уравнением (4) метода МУП):

$$ \tag{4} \bold{{U}_{b}} = \bold{{M}_{t}} \cdot \bold{U_{o’}}, $$

где $ \bold{{M}_{t}} $ – матрица преобразования узловых напряжений в напряжения ветвей.

5. Записываются узловые уравнения для сечений. Уравнение (4) подставляется в (3)

$$ \bold{M} \cdot \bold{{Y}_{bb}} \cdot \bold{{M}_{t}} \cdot \bold{U_{o’}} = -( \bold{\Im_{o’}} + \bold{M} \cdot [\bold{{Y}_{bb}} \cdot \bold{{E}_{b}} + \bold{\Im_{b}}]) $$

и после небольших преобразований получаются узловые уравнения

$$ \tag{5} \bold{{Y}_{o’o’}} \cdot \bold{U_{o’}} = \bold{J^{o’}}, $$

где $ \bold{{Y}_{o’o’}} = \bold{M} \cdot \bold{{Y}_{bb}} \cdot \bold{{M}_{t}} $ – матрица проводимостей сечений;
$ \bold{J^{o’}} = -( \bold{\Im_{o’}} + \bold{M} \cdot \bold{{Y}_{bb}} \cdot \bold{{E}_{b}} + \bold{M} \cdot \bold{\Im_{b}}) $ – вектор задающих токов сечений.

6. Узловое уравнение решается любым известным способом, например, матричным,

$$ \tag{6} \bold{U_{o’}} = [\bold{{Y}_{o’o’}}]^{-1} \cdot \bold{J^{o’}}, $$

и определяются токи ветвей из закона Ома по формуле (2) или с учетом (4):

$$ \tag{7} \bold{{I}_{b}} = \bold{{Y}_{bb}} \cdot [\bold{{E}_{b}} + \bold{{M}_{t}} \cdot \bold{U_{o’}}]. $$

Подытоживая, отмечу, что, хоть алгоритм расчета цепей и форма записи уравнений обоих методов (МУП и МУН) получились практически одинаковыми, в них есть и принципиальные отличия: основное отличие заключается в записи первого закона Кирхгофа для узлов или сечений (с другой стороны можно выбрать такие сечения, которые при стягивании будут соответствовать узлам, чего нельзя сказать о узлах).

Замечания к методу МУН

1) При записи (1) может возникнуть сразу несколько вопросов:

  • как выбрать сечения и какие сечения считать независимыми. На первый вопрос можно ответить так – в качестве сечения может быть выбрана любая двухсторонняя замкнутая поверхность (бутылка Клейна здесь, наверно, не подойдёт), которая охватывает один или более узлов. Ответ на второй будет дан в п. 2 замечаний.
  • какие токи считать находящимися внутри, а какие снаружи сечения (или какую поверхность сечения считать внутренней, а какую внешней?). Ответ такой — рассматривается любая поверхность сечения, которая условно принимается внутренней (или внешней), а другая, наоборот, внешней (или внутренней), принятая условность сохраняется на протяжении всего анализа.
  • и третий вопрос: матрица $ \bold{{C}_{o’o}} $ – что это за зверь, о ней нет ни в одном учебнике ТОЭ. Не вдаваясь в подробности отмечу, что матрица $ \bold{{C}_{o’o}} $ может быть определена через матрицу соединения ветвей дерева в узлы: $ \bold{{C}_{o’o}} = (\bold{{M}_{\textrm{д}}^{T}})^{-1} $. Доказательство этого утверждения опять увело бы нас далеко от поставленной цели (а именно в теорию тензорного анализа сетей), но, если не верите, можно обойтись и без матрицы $ \bold{{C}_{o’o}} $ (преобразовывать ИТ узлов в ИТ сечений самостоятельно). Далее в примере мы покажем справедливость данного утверждения, особо любопытные могут проверить это и на другом примере.

2) Аналогично, при записи (3) также возникает ряд вопросов:

  • во-первых, сразу возникает вопрос: узловые напряжения – что это такое, как их выбрать, да еще добиться, чтобы они были независимыми. На самом деле тут все просто: узловым напряжением называется напряжение между двумя узлами (иногда говорят напряжение узловой пары). Для того, чтобы узловые напряжения были независимыми, достаточно, чтобы каждое новое узловое напряжение содержало хотя бы один новый не рассмотренный ранее узел. Так в МУП (или МУН для узлов) один из узлов «фиксируется» (принимается балансирующим), остальные nу – 1 узлов просматриваются поочередно в любом порядке. В МУН для сечений в качестве независимых узловых напряжений целесообразно принимать напряжения ветвей дерева (т.е. таких ветвей схемы, которые соединяют все узлы схемы и при этом ни разу не повторяются). Очевидно, что при этом напряжение любой ветви может быть выражено через выбранные узловые напряжения: напряжения ветвей дерева будут равны узловым напряжениям, а напряжения остальных ветвей (ветвей хорд) могут быть выражены через узловые напряжения по второму закону Кирхгофа, т.е. справедливость (4) также доказана.
  • во-вторых, оказывается, и на мой взгляд это самое удивительное, что матрице преобразования узловых напряжений $ \bold{{M}_{t}} $ соответствует одна и только одна определенная матрица сечений $ \bold{{M}} $ (доказательство этого утверждения опять увело бы нас далеко от поставленной цели… в теорию «ортогональных» цепей, но если не верите можете проверить сами). Таким образом, не выбирая сечений, можно получить матрицу сечений $ \bold{{M}} $ (вот это поворот – помните я отмечал, что сечения выбираются так же просто, как замкнутые контура по второму закону Кирхгофа).

3) Матрица $ \bold{{M}_{t}} $, вообще говоря, может отличаться от транспонированной матрицы $ \bold{{M}} $, выбранной в п. 1, тогда матрица проводимостей сечений не будет симметричной, аналогично тому, как если бы в МУП балансирующий узел не совпадал с базисным. На практике, как правило, принимают $ \bold{{M}_{t}} = \bold{{M}^{T}} $ (и я поступлю так же).

4) Как и в МУП, в МУН схемы с особыми ветвями не рассматривают, их преобразуют в схемы без особых ветвей (переносят ЭДС через узел, «стягивают» узлы особых ветвей и т.д.). Дело в том, что, как и в МУП, взятие обратной матрицы $ \bold{{M}_{bb}} $ в уравнении (2) вызвало бы значительные затруднения. Но, как отмечалось в МУП, способ, который позволяет обойтись без переноса, стягивания и т.д. есть. Этот способ рассматривается в теории «ортогональных» цепей, встречающихся в тензорном анализе сетей, о которых говорилось здесь, но это тема отдельной публикации.

Пример

Для сравнения возьмем пример, рассмотренный в МУП:

Найдем узловые напряжения и токи ветвей электрической цепи, схема замещения которой приведена на рисунке 1, а её граф на рисунке 2

Дано:

Примечание:

* – векторы $ \bold{E_{b}} $, $ \bold{\Im_{b}} $, $ \bold{\Im_{o}} $ являются вектор-столбцами (записаны в строку для сокращения места). Далее будем придерживаться этого же правила (т.е. далее везде под вектор-строками надо понимать вектор-столбцы)
** – числовые значения ЭДС, ИТ и сопротивлений приняты условно, без привязки к реальным параметрам элементов
*** – сечения будем обозначать символом «o’», узлы символом «о«, ветви – символом «b»

Решение:

1. Выберем ветви дерева графа (деревья – b1, b2, b4, b5, хорда – b3) и узловые напряжения Uo’ (приняты равными напряжениям ветвей дерева). Ветви дерева (жирные линии) и узловые напряжения (синие линии) изображены на рисунке 3. Для сравнения, на рисунке 4 изображены узловые напряжения, соответствующие выбранным независимым узловым потенциалам в примере МУН (или МУН для узлов).

2. Найдем матрицу проводимости ветвей $ \bold{Z_{bb}} $

3. Выразим напряжения ветвей через узловые напряжения (найдем матрицу $ \bold{M_{t}} $). Сравните её с матрицей $ \bold{M} $, выбранной в МУП.

$ \bold{U_{b}} = \bold{M_{t}} \cdot \bold{U_{o’}} $

Сечения, соответствующие транспонированной матрице $ \bold{M_{t}} $, приведены на рисунке 5; для сравнения на рисунке 6 приведены сечения, соответствующие выбранным независимым узловым потенциалам в МУП (МУН для узлов).

Заметьте, я не выбирал сечения (они показаны здесь для наглядности, можно обойтись и без рисунков), они «возникли» автоматически после записи уравнения связи ветвей и узловых напряжений.

4. Преобразуем источники тока (ИТ) узлов в источники тока ветвей-дерева (или что тоже в ИТ сечений)

Действительно, один ИТ 1-го узла преобразуется в 4 ИТ ветвей дерева b1, b2, b4, b5 (сечения o’1, o’2, o’3, o’4), а ИТ 4-го узла в один ИТ ветви дерева b5 (сечение o’4).

Примечание: Как я отмечал выше, преобразование источников тока можно было бы выполнить с помощью матрицы $ \bold{{C}_{o’o}} = (\bold{{M}_{\textrm{д}}^{T}})^{-1} $. Действительно, матрица соединения деревьев в узлы $ \bold{{M}_{\textrm{д}}} $ в точности повторяет матрицу $ \bold{M} $ (из решения цепи методом МУП), только без ветви-хорды b3:

Нетрудно убедиться, что $ \bold{\Im_{o’}} = \bold{C_{o’o}} \cdot \bold{\Im_{o}} $.

Найдем задающие токи сечений

5. Найдем матрицу проводимостей сечений

6. Найдем неизвестные узловые напряжения $ \bold{U_{o’}} $ и токи ветвей $ \bold{I_{b}} $.

Узловые напряжения $ \bold{U_{o}} $, соответствующие $ \boldsymbol{\varphi_{o}} $, определяются по формуле $ \bold{U_{o}} = \bold{C_{oo’}} \cdot \bold{U_{o’}} $, где $ \bold{C_{oo’}} = \bold{C_{o’o}^{T}}$.

Примечание: Заметим, что $ \bold{U_{o}} = -\boldsymbol{\varphi_{o}} $ (см. пример МУП). Как я уже писал выше, это связано с условностью выбора положительных направлений для напряжений (на окончательном решении это не скажется):

Как видно, результаты расчета совпали с результатами расчета МУП.

Дальнейшим обобщением методов МУП, МУН, да и метода контурных токов (МКТ) являются методы расчета «ортогональных» цепей, о которых я надеюсь рассказать в следующей публикации.

Литература

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. 1975.
  2. Демирчян К.С., Нейман Л.Р. и др. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. 4-е изд. Питер, 2004 г.
  3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: Учебник для Вузов. – М.: Высшая школа, 1984. – 559 с.
  4. Шимони К. Теоретическая электротехника. Издательство «Мир». Москва 1964 г. – 775 с.

Добавить комментарий

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.