Между двумя установившимися режимами электрической цепи обычно имеет место переходный процесс, при котором напряжения и токи изменяются непериодически. Причинами перехода от одного установившегося режима к другому могут быть включения и отключения ветвей, короткие замыкания участков цепи, переключения, вызванные изменениями параметров. В результате таких изменений, называемых коммутациями, в цепи возникают переходные процессы [1].
Законы коммутации
- В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые имели непосредственно перед коммутацией, и дальше изменяются именно с этих значений. Ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации скачком не изменяется.
- В любой ветви напряжение и заряд на ёмкости сохраняют в момент коммутации те значения, которые имели непосредственно перед коммутацией, и дальше изменяются именно с этих значений. Напряжение на ёмкости в момент коммутации скачком не изменяется.
Это объясняется невозможностью скачкообразного, т.е. мгновенного изменения запасённой в этих элементах энергии $ W_{L} = \frac{Li^{2}}{2} $, $ W_{C} = \frac{CU^{2}}{2} $.
Переходный, установившийся и свободный процесс
Рассмотрим основные положения на примере включения цепи $ RLC $ к источнику переменной ЭДС (рис. 1).
Второй закон Кирхгофа для цепи после коммутации имеет вид:
$$ u_{R} + u_{L} + u_{C} = e(t) $$
$$ Ri + L \cdot \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \int{idt} = e(t) $$
Продифференцируем это уравнение по времени:
$$ L \frac{d^2i}{dt^2} + R \cdot \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} = \frac{de}{dt} $$
Решением данного уравнения $ i = i(t) $ является искомый ток в цепи, который, в то же время, является током переходного процесса. Данный ток равен сумме установившегося $ i_{\textrm{у}}(t) $ и свободного токов $ i_{\textrm{св}}(t) $:
$$ i(t) = i_{\textrm{у}}(t) + i_{\textrm{св}}(t) $$
В аналогичной форме записываются уравнения для напряжения $ u(t) $ на участке цепи, магнитного потока и любой изменяющейся электрической величины. Таким образом, переходный процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов: установившегося, который как бы наступил сразу, и свободного, который существует только во время переходного процесса.
Значения тока в индуктивности и напряжения на ёмкости в момент коммутации называются независимыми начальными условиями.
Примем, что коммутация происходит в момент времени $ t = 0 $. Ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент непосредственно перед коммутацией обозначим $ i_{L}(0_{-})$ и $ u_{C}(0_{-})$ соответственно, в момент коммутации — $ i_{L}(0)$ и $ u_{C}(0)$, а в момент времени непосредственно после коммутации $ i_{L}(0_{+})$ и $ u_{C}(0_{+})$. Тогда законы коммутации можно перезаписать в виде:
$$ i_{L}(0_{-}) = i_{L}(0) = i_{L}(0_{+}) $$
$$ u_{C}(0_{-}) = u_{C}(0) = u_{C}(0_{+}) $$
Независимые начальные условия могут быть равными и не равными нулю. Если в цепи $ i_{L} $ не равен нулю, то индуктивность в первый момент после коммутации равносильна источнику тока с током $ J = i_{L}(0) $. Если напряжение в цепи $ u_{C} $ не равно нулю, то ёмкость равносильна источнику ЭДС с напряжением $ U = u_{C}(0) $. При нулевых начальных условиях индуктивность в начальный момент времени после коммутации равносильна разрыву в цепи, а ёмкость — короткому замыканию.
Зависимые начальные условия — это значения токов, напряжений и их производных при $ t = 0 $ на остальных участках цепи. Зависимые начальные условия определяются из уравнений, составленных по законам Кирхгофа для цепи после коммутации с учётом независимых начальных условий.
В зависимости от порядка дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы, различают цепи первого, второго и более высоких порядков.
Список использованной литературы
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.