Метод контурных токов для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов позволяет уменьшить количество решаемых уравнений.

В методе контурных токов уравнения составляются на основании второго закона Кирхгофа, причём их равно NвNу + 1, где Nу – число узлов, Nв – число ветвей, т.е.  количество совпадает с количеством уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.

Опишем методику составления уравнений по методу контурных токов. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

Электрическая схема метод контурных токов для расчёта электрической цепи
Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления контурных токов (рис. 2).

Электрическая схема метод контурных токов для расчёта электрической цепи направление контурных токов
Рис. 2. Задание направления контурных токов в электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно 3. Здесь контур с источником тока так же не рассматривается.

Составим уравнение для контура «1 к.». В контуре «1 к.» контурный ток I11 протекает по всем сопротивлениям R2, ZL1, ZC1. Кроме того, через сопротивление R2 протекает контурный ток смежного контура «2 к.» I22, причём контурные токи I11 и I22 протекают в противоположных направлениях. Через индуктивное сопротивление ZL1 также протекает контурный ток I33, причём контурные токи I11 и I33 также протекают в противоположных направлениях. Про составлении уравнения нужно сложить все падения напряжения (аналогично второму закону Кирхгофа), при этом необходимо учесть направление контурных токов: если контурные токи смежных контуров протекают в определённой ветви в одном направлении, то падение напряжения в этой ветви необходимо вносить со знаком «+», в противном случае – со знаком «-». Полученная сумма будет равна сумме ЭДС данного контура, при этом ЭДС берётся со знаком «+», если направление контурного тока совпадает с направлением ЭДС, в противном случае – со знаком «-».

Учитывая вышеизложенное, уравнение по методу контурных токов для контура «1 к.» будет выглядеть следующим образом:

(R2 + ZL1 + ZC1) ∙ I11R2I22 ZL1I33 = E1.

Аналогично составим уравнение для контура «2 к.». Необходимо учесть, что уравнение для контура с источником тока не составляется, но ток от источника тока также необходимо учитывать в уравнение аналогично контурным токам других контуров. Само уравнение будет выглядеть следующим образом:

R2I11 + (R2 + R4 + ZC2) ∙ I22 ZС2J1 = E2.

Для контура «3 к.»:

ZL1I11 + (R1 + R3 + ZL1 + ZL2) ∙ I33 R3J1 = E3.

В приведённых выше уравнениях ZC = –1/(ωC), ZL = ωL.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые контурные токи, необходимо решить следующую систему уравнений, где слагаемые с силой тока источника тока перенесены в правую часть уравнений:

В данном случае это система из 3 уравнений с 3 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

>> syms R1 R2 R3 R4 Zc1 Zc2 Zl1 Zl2 J1 E1 E2 E3;
>> A = [R2+Zl1+Zc1       -R2          -Zl1;
               -R2 R2+R4+Zc2             0;
              -Zl1         0 R1+R3+Zl1+Zl2];
>> b = [ E1;
E2 + Zc2*J1;
 E2 + R3*J1];
>> I = A\b

В результате получим вектор-столбец I токов из трёх элементов, состоящий из искомых контурных токов, при этом

I(1) = I11, I(2) = I22, I(3) = I33.

Далее в схеме по рис. 2 расставим направления токов в ветвях (рис. 3).

Электрическая схема метод контурных токов для расчёта электрической цепи определение токов в ветвях
Рис. 3. Задание направления токов в электрической цепи

Для определения токов в ветвях необходимо рассмотреть все контурные токи, которые протекают через данную ветвь. Видим, что через ветвь, где протекает ток I1, проходит только один контурный ток I11, и он сонаправлен, отсюда

I1 = I11.

Через ветвь, где протекает ток I2, проходят контурные токи I11 и I22, причём ток I11 совпадает с принятым направлением тока I2, а ток I22 – не совпадает. Те контурные токи, которые совпадают с принятым направлением, берутся со знаком «+», те, которые не совпадают – со знаком «-». Отсюда

I2 = I11I22.

Аналогично для других ветвей

I3 = I22,

I4 = – I11 + I33,

I5 = I22J1,

I6 = I33,

I7 = I33J1.

Итак, метод контурных токов позволяет рассчитывать меньшее количество сложных уравнений для расчёта аналогичной электрической цепи по сравнению с законами Кирхгофа.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

2 комментария для “Метод контурных токов для расчёта электрических цепей”

Добавить комментарий

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.